第一百一十九章 均值不等式(1/2)

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到了七中。

上午第一节课和第二节课是数学课,数学老师还是那个病恹恹的老教师,说话声音跟个女人似的。坐在后排的同学基本听不见。不过王天现在个人等级达到了15级,筋骨属性的增加使得他本身的各项能力都提高了不少,坐在最后排的他也是勉强能够听见。

旁边的冷心心则是一上课就拿出了自己的手机玩酷跑,数学老师根本不管她。在他心中想的是,反正自己要退休了,学生听不听无所谓,自己只要在上面讲课,就算完成任务了。

不过冷心心听不听课也无所谓,反正她老爸是集团公司的老总,她到了一定的年纪,直接公司去上班就行了,而且还不是做普通员工。就是她现在说要去,恐怕冷谦都会给她安排个不错的职位。

王天则是认真的听讲,以前为了金钱而放弃学习,现在他不需要了。现在他包裹里的钱是无限,按理说他不学习也没关系。但他还是要认真学习,一来是他认为这个机会难得。二来他认为学习知识是自己的事情,学习不是为了升学,而是为了提高个人素质。知识丰富的人,不管从哪个方面都比别人强一些。

这两节课讲的是均值不等式:hn≤gn≤an≤qn。即调和平均数不过几何平均数,几何平均数不过算术平均数。

1,调和平均数:hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)2,几何平均数:gn=(a1a2...an)^(1/n)3,算术平均数:an=(a1+a2+...+an)/n4,平方平均数:qn=√[(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]这四种平均数满足hn≤gn≤an≤qn其中a1、a2、…、an∈r+,当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号。

然后数学老师讲了均值不等式的各种变形,而高二数学基本都是下面三个变形:(1)对实数a,b,有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)。

(2)对非负实数a,b,有a+b≥2√(a*b)≥o,即(a+b)/2≥√(a*b)≥o。

(3)对负实数a,b,有a+b&1t;o&1t;2√(a*b)。

第二节课,老师讲了均值不等式的证明方式。方法很多:数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等。

用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。引理:设a≥o,b≥o,则(a+b)^n≥a^n+na^(n-1)b。注:引理的正确性较明显,条件a≥o,b≥o可以弱化为a≥o,a+b≥o。

原题等价于:((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。当n=2时易证。设当n=k时命题成立,即((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。

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